вектора скорости
на произвольную ось OX нужно найти
алгебраическую сумму проекций векторов
и
на ту же ось.
.
Этот путь равен длине дугиAB.
Векторы скоростей
и
в точкахA
и B
направлены
по касательным к окружности в этих
точках, а угол
между векторами
и
равен углу между радиусамиOA
и OB.
Найдем разность векторов
и определим отношение изменения
скорости к∆
t
:
Как находится проекция скорости. Скорость движения. Равнопеременное движение по прямой
3.1. Равнопеременное движение по прямой.
3.1.1. Равнопеременное движение по прямой - движение по прямой с постоянным по модулю и направлению ускорением:
3.1.2. Ускорение () - физическая векторная величина, показывающая, на сколько изменится скорость за 1 с.
В векторном виде:
где - начальная скорость тела, - скорость тела в момент времени t .
В проекции на ось Ox :
где - проекция начальной скорости на ось Ox , - проекция скорости тела на ось Ox в момент времени t .
Знаки проекций зависят от направления векторов и оси Ox .
3.1.3. График проекции ускорения от времени.
При равнопеременном движении ускорение постоянно, поэтому будет представлять собой прямые линии, параллельные оси времени (см. рис.):
3.1.4. Скорость при равнопеременном движении.
В векторном виде:
В проекции на ось Ox :
Для равноускоренного движения:
Для равнозамедленного движения:
3.1.5. График проекции скорости в зависимости от времени.
График проекции скорости от времени - прямая линия.
Направление движения: если график (или часть его) находятся над осью времени, то тело движется в положительном направлении оси Ox .
Значение ускорения: чем больше тангенс угла наклона (чем круче поднимается вверх или опускает вниз), тем больше модуль ускорения; где - изменение скорости за время
Пересечение с осью времени: если график пересекает ось времени, то до точки пересечения тело тормозило (равнозамедленное движение), а после точки пересечения начало разгоняться в противоположную сторону (равноускоренное движение).
3.1.6. Геометрический смысл площади под графиком в осях
Площадь под графиком, когда на оси Oy отложена скорость, а на оси Ox - время - это путь, пройденный телом.
На рис. 3.5 нарисован случай равноускоренного движения. Путь в данном случае будет равен площади трапеции: (3.9)
3.1.7. Формулы для расчета пути
| Равноускоренное движение | Равнозамедленное движение |
|---|---|
| (3.10) | (3.12) |
| (3.11) | (3.13) |
| (3.14) | |
Все формулы, представленные в таблице, работают только при сохранении направления движения, то есть до пересечения прямой с осью времени на графике зависимости проекции скорости от времени.
Если же пересечение произошло, то движение проще разбить на два этапа:
до пересечения (торможение):
После пересечения (разгон, движение в обратную сторону)
В формулах выше - время от начала движения до пересечения с осью времени (время до остановки), - путь, который прошло тело от начала движения до пересечения с осью времени, - время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t , - путь, который прошло тело в обратном направлении за время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t , - модуль вектора перемещения за все время движения, L - путь, пройденный телом за все время движения.
3.1.8. Перемещение за -ую секунду.
За время тело пройдет путь:
За время тело пройдет путь:
Тогда за -ый промежуток тело пройдет путь:
За промежуток можно принимать любой отрезок времени. Чаще всего с.
Тогда за 1-ую секунду тело проходит путь:
За 2-ую секунду:
За 3-ю секунду:
Если внимательно посмотрим, то увидим, что и т. д.
Таким образом, приходим к формуле:
Словами: пути, проходимые телом за последовательные промежутки времени соотносятся между собой как ряд нечетных чисел, и это не зависит от того, с каким ускорением движется тело. Подчеркнем, что это соотношение справедливо при
3.1.9. Уравнение координаты тела при равнопеременном движении
Уравнение координаты
Знаки проекций начальной скорости и ускорения зависят от взаимного расположения соответствующих векторов и оси Ox .
Для решения задач к уравнению необходимо добавлять уравнение изменения проекции скорости на ось:
3.2. Графики кинематических величин при прямолинейном движении
3.3. Свободное падение тела
Под свободным падением подразумевается следующая физическая модель:
1) Падение происходит под действием силы тяжести:
2) Сопротивление воздуха отсутствует (в задачах иногда пишут «сопротивлением воздуха пренебречь»);
3) Все тела, независимо от массы падают с одинаковым ускорением (иногда добавляют - «независимо от формы тела», но мы рассматриваем движение только материальной точки, поэтому форма тела уже не учитывается);
4) Ускорение свободного падения направлено строго вниз и на поверхности Земли равно (в задачах часто принимаем для удобства подсчетов);
3.3.1. Уравнения движения в проекции на ось Oy
В отличии от движения по горизонтальной прямой, когда далеко не всех задач происходит смена направления движения, при свободном падении лучше всего сразу пользоваться уравнениями, записанными в проекциях на ось Oy .
Уравнение координаты тела:
Уравнение проекции скорости:
Как правило, в задачах удобно выбрать ось Oy следующим образом:
Ось Oy направлена вертикально вверх;
Начало координат совпадает с уровнем Земли или самой нижней точкой траектории.
При таком выборе уравнения и перепишутся в следующем виде:
3.4. Движение в плоскости Oxy .
Мы рассмотрели движение тела с ускорением вдоль прямой. Однако этим равнопеременное движение не ограничивается. Например, тело, брошенное под углом к горизонту. В таких задачах необходимо учитывать движение сразу по двум осям:
Или в векторном виде:
И изменение проекции скорости на обе оси:
3.5. Применение понятия производной и интеграла
Мы не будем приводить здесь подробное определение производной и интеграла. Для решения задач нам понадобятся лишь небольшой набор формул.
Производная:
где A , B и то есть постоянные величины.
Интеграл:
Теперь посмотрим, как понятие производной и интеграла применимо к физическим величинам. В математике производная обозначается «"», в физике производная по времени обозначается «∙» над функцией.
Скорость:
то есть скорость является производной от радиус-вектора.
Для проекции скорости:
Ускорение:
то есть ускорение является производной от скорости.
Для проекции ускорения:
Таким образом, если известен закон движения то легко можем найти и скорость и ускорение тела.
Теперь воспользуемся понятием интеграла.
Скорость:
то есть, скорость можно найти как интеграл по времени от ускорения.
Радиус-вектор:
то есть, радиус-вектор можно найти, взяв интеграл от функции скорости.
Таким образом, если известна функция то легко можем найти и скорость, и закон движения тела.
Константы в формулах определяются из начальных условий - значения и в момент времени
3.6. Треугольник скоростей и треугольник перемещений
3.6.1. Треугольник скоростей
В векторном виде при постоянном ускорении закон изменения скорости имеет вид (3.5):
Эта формула означает, что вектор равен векторной сумме векторов и Векторную сумму всегда можно изобразить на рисунке (см. рис.).
В каждой задаче, в зависимости от условий, треугольник скоростей будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.
3.6.2. Треугольник перемещений
В векторном виде закон движения при постоянном ускорении имеет вид:
При решении задачи можно выбирать систему отсчета наиболее удобным образом, поэтому не теряя общности, можем выбрать систему отсчета так, что то есть начало системы координат помещаем в точку, где в начальный момент находится тело. Тогда
то есть вектор равен векторной сумме векторов и Изобразим на рисунке (см. рис.).
Как и в предыдущем случае в зависимости от условий треугольник перемещений будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.
Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).
Прямолинейное движение – это движение по прямой линии, то есть траектория прямолинейного движения – это прямая линия.
Равномерное прямолинейное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Например, если мы разобьём какой-то временной интервал на отрезки по одной секунде, то при равномерном движении тело будет перемещаться на одинаковое расстояние за каждый из этих отрезков времени.
Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости: v cp = v Скорость равномерного прямолинейного движения – это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка t:
Таким образом, скорость равномерного прямолинейного движения показывает, какое перемещение совершает материальная точка за единицу времени.
Перемещение при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:
Пройденный путь при прямолинейном движении равен модулю перемещения. Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения, то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна:
V x = v, то есть v > 0 Проекция перемещения на ось ОХ равна: s = vt = x – x 0 где x 0 – начальная координата тела, х – конечная координата тела (или координата тела в любой момент времени)
Уравнение движения , то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t), принимает вид:
Х = x 0 + vt Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v х = x 0 - vt
Зависимость скорости, координат и пути от времени
Зависимость проекции скорости тела от времени показана на рис. 1.11. Так как скорость постоянна (v = const), то графиком скорости является прямая линия, параллельная оси времени Ot.
Рис. 1.11. Зависимость проекции скорости тела от времени при равномерном прямолинейном движении.
Проекция перемещения на координатную ось численно равна площади прямоугольника ОАВС (рис. 1.12), так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.
Рис. 1.12. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.
График зависимости перемещения от времени показан на рис. 1.13. Из графика видно, что проекция скорости равна
V = s 1 / t 1 = tg α где α – угол наклона графика к оси времени. Чем больше угол α, тем быстрее движется тело, то есть тем больше его скорость (больший путь тело проходит за меньшее время). Тангенс угла наклона касательной к графику зависимости координаты от времени равен скорости: tg α = v
Рис. 1.13. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.
Зависимость координаты от времени показана на рис. 1.14. Из рисунка видно, что
Tg α 1 > tg α 2 следовательно, скорость тела 1 выше скорости тела 2 (v 1 > v 2). tg α 3 = v 3 Если тело покоится, то графиком координаты является прямая, параллельная оси времени, то есть х = х 0
Рис. 1.14. Зависимость координаты тела от времени при равномерном прямолинейном движении.
Для выполнения расчетов скоростей и ускорений необходимо переходить от записи уравнений в векторной форме к записи уравнений в алгебраической форме.
Векторы начальной
скорости
и ускорения
могут иметь различные направления,
поэтому переход от векторной записи
уравнений к алгебраической может
оказаться весьма трудоемким.
Известно, что проекция суммы двух векторов на какую-либо координатную ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.
|
|
Поэтому для
нахождения проекции
Проекцию вектора на ось считают положительной, если от проекции начала к проекции конца вектора нужно идти по направлению оси, и отрицательной в противоположном случае. |
|
|
График скорости
Из уравнения
следует, что графиком зависимости
проекции скорости равноускоренного
движения от времени является прямая.
Если проекция начальной скорости на
ось OX равна нулю, то прямая проходит
через начало координат.
|
|
|
Основные виды движения
а n = 0, a = 0 – прямолинейное равномерное движение;
а n = 0, a = const – прямолинейное равнопеременное движение;
а n = 0, a 0 – прямолинейное с переменным ускорением;
а n = const , a = 0 – равномерное по окружности
а n = const , a = const – равнопеременное по окружности
а n const , a const – криволинейное с переменным ускорением.
Вращательное движение твердого тела.
Вращательное движение твердого тела относительно неподвижной оси – движение, при котором все точки твердого тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.
Равномерное движение по окружности
Рассмотрим наиболее простой вид вращательного движения, и уделим особое внимание центростремительному ускорению.
При равномерном
движении по окружности значение скорости
остается постоянным, а направление
вектора скорости
изменяется в процессе движения.
|
|
За
интервал времени ∆
t
тело проходит путь
|
Из подобия треугольников OAB и BCD следует
Если интервал
времени ∆t
мал, то мал и угол .
При малых значениях угла
длина хорды AB примерно равна длине дуги
AB, т.е.
.
Т.к.
,
,
то получаем
.
Поскольку
,
то получаем
Период и частота
Промежуток времени, за который тело совершает полный оборот при движении по окружности, называется периодам обращения (Т ). Т.к. длина окружности равна 2 R , период обращения при равномерном движении тела со скоростью v по окружности радиусом R равняется:
Величина, обратная периоду обращения, называется частотой. Частота показывает, сколько оборотов по окружности совершает тело в единицу времени:
(с -1)
Графики дают возможность представить зависимость скорости и ускорения от времени при движении тела (точки) наглядно.
Графики модуля и проекции ускорения
Если точка движется с постоянным ускорением, то графики модуля и проекции ускорения будут прямыми, параллельными оси времени. Надо помнить, что модуль - неотрицательная величина, поэтому график модуля ускорения не может быть расположен ниже оси времени (рис. 1.50). Проекции ускорения могут иметь положительные и отрицательные значения (рис. 1.51, а, б). Рисунок 1.51, б показывает, что ускорение постоянно и направлено противоположно оси X.
Рис. 1.50
о
По графику проекции ускорения можно найти, кроме ах, изменение проекции скорости. Оно численно равно площади пря-моугольника ОАВС или OKMN, так как Avx = axt, a axt численно равно площади прямоугольника ОАВС или OKMN.
Площадь берется со знаком минус, если она расположена ниже оси времени, что соответствует рисунку 1.51, б, где Avx = axt
Формулы проекций скорости (1.17.3) являются линейными функциями времени. Поэтому графики модуля и проекций ско-рости представляют собой прямые линии. На рисунке 1.52 пред-ставлены графики зависимости модуля скорости от времени для трех движений с постоянным ускорением. Графики 2 и 3 соот-ветствуют движениям, модули начальных скоростей которых соответствуют отрезкам OA и ОБ. График 1 соответствует движению с равномерно возрастающим модулем скорости и начальной скоростью, равной нулю. График 3 соответствует движению с модулем скорости, равномерно убывающим до ну-ля. Отрезок ОС численно равен времени движения точки до ос-тановки. Рис. 1.52
График проекции скорости
Графики модуля скорости содер- /1
о
жат меньше информации, чем графики проекции скорости, так как по первым графикам нельзя судить о направлении движения относительно координатных осей.
Рис. 1.53
На рисунке 1.53 изображены графики 1, 2 проекций скорости двух точек. Обе они имеют начальную скорость, равную нулю. Первая точка движется в
положительном направлении оси X, и так как Avx > 0, то а1х > 0. Вторая точка движется противоположно оси X, так как Avx На рисунке 1.54 также изображены графики 1, 2 проекций скорости двух точек. Обе они имеют одно и то же значение проекции начальной скорости, соответствующее отрезку OA. Согласно графику 1 точка движется в положительном направлении оси X, причем модуль и проекция скорости равномерно возрастают.
Согласно графику 2 (см. рис. 1.54) точка в течение некоторого промежутка времени (отрезок ОВ) движется в положительном направлении оси X (vx > 0) с равномерно уменьшающимся до нуля (остановка) значением проекции скорости. После этого проекция скорости становится отрицательной; это означает, что точка стала двигаться в направлении, противоположном положительному направлению оси X. При этом проекция скорости по модулю, а значит, и модуль скорости равномерно увеличиваются. Проекция ускорения точки отрицательна. Так как проекция скорости точки равномерно убывает, то проекция ускорения остается постоянной. Следовательно, точка движется с постоянным ускорением.
Графики зависимости скорости и ускорения от времени при постоянном ускорении довольно просты. Глав-ное здесь - привыкнуть к изображению положительных и отрицательных величин и не путать графики модулей и проекций.
? 1. Покажите, что угол наклона графика проекции скорости к оси времени тем больше, чем больше модуль проекции ускорения, т. е. проекция ускорения является угловым коэффициентом прямой.
2. На рисунке 1.55 изображены графики 1, 2 проекций скорости двух точек. Докажите, что графики соответствуют движению с ускорением, не изменяющимся как по модулю, так и по направлению.? Рис. 1.54 Рис. 1.55
Как изменяется скорость точки, график проекции скорости которой в зависимости от времени изображен прямой 1 (см. рис. 1.55)? Чему соответствуют отрезки ОС и ОХ>?
Как изменялась скорость точки (см. график 2 на рисунке 1.55)? Чему соответствует отрезок ОС? Куда направлено ускорение точки относительно оси XI
На чертежах изображения геометрических тел строятся при использовании метода проекции. Но для этого одного изображения недостаточно, необходимо минимум две проекции. С помощью них и определяются точки в пространстве. Следовательно, нужно знать, как найти проекцию точки.
Проекция точки
Для этого потребуется рассмотреть пространство двугранного угла, с расположенной внутри точкой (А). Здесь используются горизонтальная П1 и вертикальная П2 плоскости проекций. Точка (А) проецируется на проекционные плоскости ортогонально. Что касается перпендикулярных проецирующих лучей, то они объединяются в проецирующую плоскость, перпендикулярную плоскостям проекций. Таким образом, при совмещении горизонтальной П1 и фронтальной П2 плоскостей путем вращения по оси П2 / П1, получаем плоский чертеж.
Затем перпендикулярно оси показывается линия с расположенными на ней точками проекции. Так получается комплексный чертеж. Благодаря построенным отрезкам на нем и вертикальной линии связи, легко можно определять положение точки относительно проекционных плоскостей.
Чтобы было проще понять, как найти проекцию, необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник. Его короткая сторона является катетом, а длинная – гипотенузой. Если выполнить на гипотенузу проекцию катета, то она поделится на два отрезка. Для определения их величины, нужно выполнить расчет набора исходных данных. Рассмотрим на данном треугольнике, способы расчета основных проекций.
Как правило, в данной задаче указывают длину катета N и длину гипотенузы D, чью проекцию и требуется найти. Для этого узнаем, как найти проекцию катета.
Рассмотрим способ нахождения длины катета (А). Учитывая, что среднее геометрическое от проекции катета и длины гипотенузы равняется искомой нами величине катета: N = √(D*Nd).
Как найти длину проекции
Корень из произведения можно найти возведением в квадрат значения длины искомого катета (N), а затем поделенного на длину гипотенузы: Nd = (N / √ D)² = N² / D. При указании в исходных данных значений только катетов D и N, длину проекции следует находить при помощи теоремы Пифагора.
Найдем длину гипотенузы D. Для этого нужно воспользоваться значениями катетов √ (N² + T²), а затем подставить полученное значение в следующую формулу нахождения проекции: Nd = N² / √ (N² + T²).
Когда в исходных данных указаны данные о длине проекции катета RD, а также данные о величине гипотенузы D, следует вычислять длину проекции второго катета ND при помощи простой формулы вычитания: ND = D – RD.
Проекция скорости
Рассмотрим, как найти проекцию скорости. Для того чтобы заданный вектор представлял описание движения, его следует разместить в проекции на координатные оси. Различают одну координатную ось (луч), две координатные оси (плоскость) и три координатные оси (пространство). При нахождении проекции необходимо из концов вектора опустить перпендикуляры на оси.
Для того чтобы уяснить значения проекции, необходимо узнать, как найти проекцию вектора.
Проекция вектора
При движении тела перпендикулярно относительно оси, проекция будет представлена в виде точки, и иметь значение равное нулю. Если же движение осуществляется параллельно координатной оси, то проекция будет совпадать с модулем вектора. В случае, когда тело движется таким образом, что вектор скорости направлен под углом φ относительно оси (х), проекция на данную ось будет являться отрезком: V(x) = V cos(φ), где V – это модель вектора скорости.Когда направления вектора скорости и координатной оси совпадают, то проекция является положительной, и наоборот.
Возьмем следующее координатное уравнение: x = x(t), y = y(t), z = z(t). В данном случае функция скорости будет спроецирована на три оси и будет иметь следующий вид: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). Отсюда следует, что для нахождения скорости необходимо брать производные. Сам же вектор скорости выражается уравнением такого вида: V = V(x) i + V(y) j + V(z) k. Здесь i, j, k являются единичными векторами координатных осей x, y, z соответственно. Таким образом, модуль скорости вычисляется по следующей формуле: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).
Статьи по теме
